Wenn man aus der Fotografie kommt ist das rein manuelle Arbeiten, da die Belichtung im Gegensatz zum Foto eine zeitliche Ebene mitbringt, auf jeden Fall eine Umstellung. Wenn du aber einen professionellen Bildeindruck erzielen willst, kommst du um eine rein manuelle Belichtung nicht herum. Am besten übst du mit deiner Kamera das manuelle belichten, glaub mir, sobald du manuelles belichten gewöhnt bist, willst du nicht mehr zurück.
Also ich Livestreame mit meiner GH5 über OBS auf meinem Laptop und meinem Internet-Cube. Funktioniert auch in der Kirche ganz gut.
Klassische Camcorder haben in solche Szenarien schon ihren Platz, alleine die Zoommöglichkeiten von einem fixen Standort aus sind schon sehr praktisch. Bei Video kann man nicht, wie eben beim Foto, schnell rangehen, knipsen, und wieder fortgehen. Wenn man Momente festhalten will brauchst man einfach ein Zoom um nicht aufzufallen und längere Sequenzen zu filmen. Aber die Problematik hast du ja selbst schon erkannt.
Falls du bei Camcorder bleiben willst und dein Haupteinsatz in der Kirche ist, brauchst du etwas lichtstarkes in Richtung 1-Zoll-Sensor oder größer. Die FZ1000 ist da schon gut ausgestattet. Die FZ2000 wäre die etwas hochwertigere Alternative mit wackelfreien Zoom und unlimitierter Aufnahmedauer.
Preislich wären die Sony AX100, NX100, CX900 und MC88 in deiner Preisgegend, aber Sony steht dir nicht so zu Gesicht. Canon ist erst bei 1500-1800€ dabei, mit der HF G60 und GX10. Panasonic hat die ux90, die ebenfalls bei Canons Preisklasse liegt. Die UX90 hätte aber auch integrierte XLR-Eingänge.
Falls es eine DSLM sein darf ist die Panasonic G81+14-140mm Objektiv technisch schon ein Schritt nach vorne und läge auch in der Preisklasse. Hat auch dieselben Akkus wie deine FZ1000. Hat aber leider einen Micro-HDMI. Noch billiger wäre der Vorgänger (gleiches Bild, nur ohne internen Bildstabilisator), da wäre dann vll. noch ein zweites, lichtstärkeres Objektiv drin.
Mit mehr Budget wäre eine GH5s+14-140mm+DMW-XLR1 eine Lösung - Sehr lichtstarker Sensor, kein Aufnahmelimit, großer HDMI-Anschluss, stabilisiertes Objektiv und 2x XLR-Eingänge in der Kamera mit Rädchen zum Aussteuern auf separaten Kanälen. Die Kombi kostet aber ~2000€ leider. :/ Wär lange Zeit meine B-Kamera und liefert auch in dunklen Grotten ein brauchbares Bild.
Ich weiß, es sind alles nicht ideale Lösungen, aber das Budget ist eben etwas knapp für ein Rundum-Sorglos-Paket. Aber vielleicht ist eine passende Empfehlung für deine Anwendungen dabei.
Zum Fernauslöser: Der Löst doch den Shutter aus, oder? Im Video-Modus startet man die Videoaufnahme doch auch über den Shutter, also sollte das auch mit dem Fernauslöser funktionieren.