Nach meinem eigenen Verständnis, ich bin kein Anwalt und das hier ist nur als theoretischer Ansatz zu verstehen:
Mündliche und schriftliche Verträge sind bindend. Wenn du oder dein Kunde AGB haben und auf diese hingewiesen wurde, dann würden auch diese (bei z.B. Geheimhaltung) gelten. Allein aus Berufsethik würde ich immer mit dem Kunden sprechen, bevor man firmeninterne Inhalte zeigt. Was firmenintern ist, ist für uns als Außenstehende nicht immer zu erkennen. Ich durfte z.B. mal bestimmte Personen nicht zeigen, weil deren Präsenz bei dem Projekt branchenintern schon einiges verraten würde.
Könntest du das anwaltlich anfechten? Vielleicht, hängt von den konkreten Verträgen ab. Ist dir das ein paar tausend Euro und den Stress wert?
Wenn du das Ding eigenverantwortlich (kreativ) gedreht hast, dann hättest du Urheberrechte an dem Material und der Kunde erhält "nur" Nutzungsrechte. Der Teil würde dir "gehören". Aber Kundenprojekte entstehen nie komplett alleine: Über Drehgenehmigung (ggf. Hausrecht), firmeneigene Nutzungsrechte (z.B. Logos, Grafiken) sowie Persönlichkeitsrechte (DarstellerInnen) würdest du dich trotzdem angreifbar machen.
Meine Herangehensweise: Probieren mit dem Kunden ins Gespräch zu gehen, ob Teile gezeigt werden dürfen oder was kritisch ist. Wenn die Brücke schon verbrannt ist (worauf ein Anwaltsschreiben hindeutet): Als Lektion abhaken, zukünftig Kundenkommunikation verbessern und schriftliche Absprachen festhalten/sich über AGB absichern. Wenn du Geld damit verdienst, zählt nicht nur das eigentliche Handwerk, sondern auch das professionelle Drumherum.